Curiosity переносит игрока в историю о коте, который пытается проложить себе путь сквозь нестабильный и местами угрожающий лабиринт, чтобы вновь оказаться дома. Маршрут постоянно меняется: трехмерные площадки расположены так, что каждый подъем и прыжок требуют точности и внимательности. Пространство вокруг будто создано для того, чтобы проверять выносливость и умение быстро реагировать, а любое неверное движение нередко оборачивается затяжным падением в пустоту.